Wythoffov simbol

Wythoffov simbol so prvi uporabili Harold Scott MacDonald Coxeter (1907–2003), Hugh Christopher Longuet-Higgins (1923–2004) in Miller v svojih pregledih uniformnih poliedrov. Predstavlja način uporabe Wythoffove konstrukcije z uporabo Schwarzevih trikotnikov

Schwartzov trikotnik je trikotnik, ki z lastnimi odboji na robovih, pokrije neskončno krat sfero ali ravnino. Običajni zapis za trikotnik so tri števila (cela števila ali ulomki) tako, da je π/x kot v enem izmed oglišč. Za zgled naj nam služi trikotnik (2 3 4) s simetrijo kocke, vrednosti (5/2 5/2 5/2) pa pomenijo stransko ploskev ikozaedra.

Wythoffova konstrukcija v treh razsežnostih sestavlja izbira točke v trikotniku katere razdalja do vsake izmed stranic, če je neničelna, je enaka in pada pravokotno na vsak rob.

Vsaka stranica trikotnika se imenuje po nasprotnem kotu. Tako je stranica nasproti pravemu kotu označena z '2'. Simbol tako predstavlja izključeno|vključeno. Vsako od števil p v simbolu postane mnogokotnik pn, kjer je n število drugih robov, ki nastopajo pred črtico. Tako je v 3 | 4 2 oglišče točka postane degenerirani mnogokotnik s stranicami 3x0 leži v kotu π/3 trikotnika in višino od tega vogala lahko smatramo kot, da tvori polovico meje med kvadratom (ima 4x1 stranic) in dvokotnikom (ima 2x1 stranic) z ničelno površino.

Posebni primer za snub-oblike, ki imajo simbol | p q r, lahko postavimo oglišče v središče sfere. Stranske ploskve prirezane oblike se izmenjujejo kot p 3 q 3 r 3. Iz tega se dobi antiprizmo, ko je q=r=2.

Vsak simbol predstavlja uniformni polieder ali tlakovanje, čeprav imajo nekatera tlakovanja in poliedri različne Wythoffove simbole za različne generatorje simetrije. Zgledi: pravilna kocka ima simbol enak 3 | 4 2 s simetrijo O_h. Kvadratna prizma z dvema barvama ima Wythofov simbol 2 4 | 2 . Simetrija D_4h s tremi barvami ima Wythoffov simbol 2 2 2 |.